На этот необычный фрактал я наткнулся некоторое время назад, перебирая различные вариации множества Мандельброта. Оригинальное множество Мандельброта строится путём итерации по формуле \(z_{n+1}=z_n^2+c\) с начальным условием \(z_0=0\). нерегулярное множество Мандельброта получится, если поочерёдно подвергать комплексное число \(z\) двум немного различным преобразованиям, причём делать это по неповторяющейся схеме, например, так:
$$z_{n+1} = \begin{cases}z_n^2+kc & \text{if }n=1,3,6,...,(m^2+m)/2,... \\z_n^2+c & \text{otherwise}\end{cases}$$где \(k\approx1.001\) - коэффициент, незначительно отличающийся от единицы. Здесь предлагается применять первое преобразование для тех итераций, которые являются треугольными числами. Этот выбор достаточно произволен, другие апериодические схемы дают сходные результаты.
Несмотря на то, что формулы отличаются всего на 0.1%, отсутствие периодичности оказывает огромное влияние на вид фрактала. Это очень хорошо заметно на спиральных участках, таких как на верхней картинке. В обычном множестве Мандельброта подобные спиральные фрагменты образованы масштабированным повторением практически одинакового узора, в то время как в нерегулярном варианте узор постоянно изменяется, спиральные ветви хаотично изменяют свою ширину, между ними образуются спайки и разрывы.
Можно предположить, что причина такого эффекта в том, что апериодическая итерация не позволяет возникать устойчивым периодическим аттракторам.
Этот вариант множества очень интересно смотрится в монохромном варианте, когда черным цветом закрашены точки внутри области устойчивости, а белым - вне её. Лучше всего эта картинка смотрится в полном разрешении.
Остальные изображения этого фрактала есть в галерее, вот ещё одно.
